18 Ocak 2009 Pazar

Kaos Oyunu: Gelişigüzellik ve Belirlenebilirlik (güncelleme @ 31/01/09)

Gelişigüzellikle anlamlı bir sonuca
ulaşılamayacağını sanan evrim karşıtlarına..

Bazı çevrelerin bilimcileri anlamayıp, hatta yanlış anlayıp, onlara düşman kesilmesinin sebeplerinden biri de aradaki malum zihinsel hijyen farkıdır. Bu yazının en büyük amacı da kaos, gelişigüzellik ve belirlenebilirlik (/determinizm) konularında zihinsel hijyene dikkat çekmektir.

Gündelik kullanımda gelişigüzellik kavramı özen ve dikkat kavramlarıyla ilişkilendirilip, bu ilişkiye indirgenmektedir. Oysa bilim dünyası hiçbir zaman gelişigüzellik kavramını bu dar kalıpta kullanmaz. Bir şeyin gelişigüzel olması demek, o şeyin önceden belirlenemez olması demektir.

Kaos kavramının kullanıldığı bilimsel yazılar da gündelik algılar gereği sadece karmaşa olarak yorumlayabilmektedir. Oysa bu tür yazılarda kaos kavramıyla düzensiz düzen veya düzenli düzensizlik işaret edilmektedir.

Bir sistemde belirlenebilir (/deterministik) kaos olması onun gelişigüzel görünümüne rağmen, bir kural ya da bağıntıya uyması, yani belirlenebilir olması demektir. Kaotik sistemlerin en büyük özelliği başlangıç koşullarına aşırı derecede bağımlı olmalarıdır. Belirlenebilir olmalarına ve hiçbir gelişigüzellik içermemelerine rağmen gelişigüzel gözükebilmelerinin de sebebi budur.

Bir sistemin kaotiklik derecesi başlangıç koşullarına bağlılıktaki hassasiyeti gösteren Lyapunov üsteli, düzensizlik miktarını gösteren entropi veya karmaşıklık düzeyini gösteren fraktal boyut gibi düşünsel araçlarla ölçülebilmektedir.

Matematik, biyoloji, bilgisayar bilimleri, ekonomi, mühendislik, maliye, felsefe, fizik, siyaset, fizyoloji gibi akla gelebilecek birçok alanda, elektrik devreleri, lazerler, kimyasal tepkimeler, akışkan dinamiği, gezegenlerin dinamiği, gök cisimlerinin manyetik alan evrimi, ekolojideki popülasyon büyümesi, sinir hücrelerindeki aksiyon potansiyeli dinamiği, moleküler titreşimler, canlılarda gen ifadesinin düzenlenmesi, hava ve iklim, yerkabuğu tektonikleri gibi akla gelebilecek birçok konuda kaotik davranışların ortaya çıkabildiğini görülmektedir ve bu davranışların kaotiklik derecesi belirlenebilmektedir.

Gündelik algıların zihinsel hijyeni bulandırması, yukarıdaki alan ve konularda kaotik davranış gözlemlenmesinin mutlak kötüye gidişe işaret olarak yorumlanmasına sebep olmaktadır. Oysa hayati işlevsel birçok konuda kaotik davranışların gözlemlenmesinin iyiye işaret olduğu yönünde göstergeler vardır. Mesela tatlı kaotik bir ritim, kas, bağışıklık, sinir sistemi gibi merkezlerin gelen sinyallere daha çabuk ve daha esnek cevap vermesini olası kılmaktadır:

- Sağlıklı kalp ritimlerinin zamana göre değişiminin kaotik olduğu, kriz durumlarında ise bu ritimlerin daha düzenli göründüğü gösterilmiştir.

- Ak yuvarların sağlıklı insanlardaki derişimi kaotik bir değişim gösterirken, lösemi hastalarındakinin düzenli ve periyodik bir değişim gösterdiği bilinmektedir.

- Beyinden alınan iki farklı elektrotla elde edilen verilerle kurulan faz uzayında beyin elektrosunun temsili tek nokta ise hasta ölmüş olmaktadır. Canlılarda temsil karmaşık bir eğri olarak ortaya çıkmakta ve insana doğru gidildikçe bu eğrinin fraktal boyutu artmaktadır.

- Komada beyin ritimleri daha düzenli hale gelmektedir.

- Normal bir insan beyninin EEG'leri epilepsi krizi geçiren bir hastanınkinden daha kaotik olmaktadır. Ve normal insanda zihinsel etkinlik arttıkça kaotiklik de artmakta, yaşlandıkça ise kaotiklik azalmaktadır.

Yazının bundan sonraki bölümlerinde kaos, gelişigüzellik ve belirlenebilirlik kavramları bazı örnekler üzerinden ilişkilendirilecektir.

I Sierpinski Contası

Sierpinski Contası fraktal bir kümedir. Öncelikle bu kümenin nasıl oluşturulduğuna bakalım:

Bir eşkenar üçgen tanımlayan E(0) kümesi seçilir. Bu üçgen dört eşit parçaya bölünür ve ortadaki üçgen atılarak E(1) kümesini oluşturan noktalar edilir. Daha sonra E(1) kümesini oluşturan her bir üçgen dörde bölünür ve bunların da ortalarındaki üçgenler atılarak E(2) kümesini oluşturan noktalar elde edilir. Üçgenleri dörde bölüp, ortadaki parçayı atma işlemi sonsuza kadar tekrarlanırsa aşağıda F kümesi olarak adlandırılan Sierpinski Contası elde edilir. Ve bu tamamen belirlenebilir bir süreçtir.


Resim 1: Sierpinski Contası oluşturma

E(0) kümesinin alanı 1 ise, E(1) kümesinin alanı 0.75, E(2) kümesinin alanı 0.75 x 0.75 olmaktadır. Sierpinski Contası’nın alanı ise sonsuz tane 0.75 çarpımı, yani sıfır olarak hesaplanabilir.

E(0) üçgenin alanının 1 olması için bir kenarının yaklaşık olarak 1.52 olması gerekir. Bu durumda E(0) kümesindeki üçgenin çevresi 4.56, E(1) kümesindeki üçgenlerin toplam çevresi 4.56 x 1.5, E(2) kümesindeki üçgenlerin toplam çevresi 4.56 x 1.5 x 1.5 olmaktadır. Sierpinski Contası’ndaki toplam çevre ise 4.56 ile sonsuz tane 1.5 çarpımı, yani sonsuz olarak hesaplanabilir.

Sonsuz bir uzunlukla çevrelenmiş sıfır değerinde bir alan fraktal bir boyuta işaret etmektedir. Sierpinski Contası’nının herhangi bir kısmına herhangi bir büyütmeyle bakılırsa, bakılan kısımda yine bir Sierpinski Contası görülmektedir. 1:2 (0.5) ölçekli bir büyütmede 3 tane Sierpinski Contası elde edildiği için bu yapının boyutu

D = - log(3)/log(0.5) = 1.58496...

olarak hesaplanabilir.

I-1 Kaos Oyunu ile Sierpinski Contası elde etme

Kaos oyununda eşkenar bir üçgen ve üç değerli bir zar gerekmektedir. Zarın her değeri eşkenar üçgenin bir köşesi ile eşleştirilir. Oyuna başlarken önce gelişigüzel bir nokta seçilir. Oyun oldukça basittir:

1) Zar atılır
2) Nokta ve gelen değerle ilintili olan köşe noktasının tam ortasında yeni bir nokta seçilir.
3) İşlem yeni noktayla tekrarlanır.

Elde edilen her yeni nokta ile işlem tekrarlanıp, noktalar tek bir zemin üzerinde resmedilirse:


Resim 2: 10 Tekrar


Resim 2: 100 Tekrar


Resim 4: 1000 Tekrar


Resim 5: 10000 Tekrar


 Animasyon 1: 10000 Tekrar

Kaos oyunu sonunda gelişigüzel bir işlemle Sierspinski Contası gibi kesin olarak belirlenebilir bir şeklin elde edilebildiği görülmektedir. Oyun sırasında bir sonraki adımda noktanın nerede olacağı bizim için tamamen belirlenemezken, tüm oyun noktalarının oluşturacağı örgü kusursuzca belirlenebilir durumdadır. Bir başka deyişle gelişigüzel bir süreç belirlenebilir bir süreçle aynı yere varmaktadır.

Olasılık hesaplarına gelince.. Yukarıdaki yazıda en son gelişigüzel olarak 10.000 tane nokta seçilmiştir. Herhangi bir seçili noktanın Sierpinski Contası içinde olma olasılığı a olsun (öyle ki a bir olasılık olduğu için 1'den küçüktür). 10.000 noktanın birden bu conta içinde olması olasılığı a üzeri 10.000 yapmaktadır. Bu sıfıra çok yakın bir olasılıktır. Nokta sayısı sonsuza doğru arttırılırsa yine tüm noktalar conta içinde çıkmaktadır ki bu durumun olasılığı limitte sıfıra gitmektedir. Ve görüldüğü gibi bu kadar küçük bir olasılık; bu kuralları basit kaos oyunundaki gelişigüzel süreçte gerçekleşmiş durumdadır..

I-2 Kaos Oyunu için matlab’da yazılmış kod



II Eğreltiotu (Fraktali)

Eğreltiotu doğada görülen fraktal şekillere bir örnektir.


Resim 6: Eğreltiotu Bitkisi

II-1 Kaos Oyunu ile Eğreltiotu (Fraktali) elde etme

Kaos oyunun dört yüzlü zar kullanılan ve zarın ağırlının tekdüze (/homojen) olmadığı bir başka çeşidi ile de Eğreltiotu (/Fern) Fraktali elde edilebilir. Zarın dört yüzünün gelme olasılıkları aşağıdaki gibidir:

P(A yüzü) = 0.01
P(B yüzü) = 0.85
P(C yüzü) = 0.07
P(D yüzü) = 0.07

Oyun ilkinden daha karışık olsa da basittir:

1) Öncelikle iki boyutlu düzlemde gelişigüzel bir nokta (x(0), y(0)) seçilir ve ardından zar atılır.
2) Zarın gelen yüzeyine uygun olan bir dönüşümle yeni bir nokta oluşturulur.

Bu dönüşüm genel olarak şöyledir:

x(i+1) = a x(i) + b y(i) + e
y(i+1) = c x(i) + d y(i) + f

S = {a, b, c, d, e, f} katsayıları yüzeylere göre şöyle değişir:

A için S = {0, 0, 0, 0.16, 0, 0}
B için S = {0.85, 0.04, -0.04, 0.85, 0, 1.6}
C için S = {0.2, -0.26, 0.23, 0.22, 0, 1.6}
D için S = {-0.15, 0.28, 0.26, 0.24, 0, 0.44}

İkinci adımın tekrarlanması ile Eğreltiotu Fraktali elde edilir.


Resim 7: 100 Tekrar

Resim 8: 10000 Tekrar

Resim 9: 1000000 Tekrar

II-2 Kaos Oyunu için matlab’da yazılmış kod

10 yorum:

isa :) dedi ki...

Selamlar Onurcum.
Bu veya buna benzer çıkarımlar delil olabilir mi sence.
Tesadüfler sonucu böyle bir canlı oluşabilir mi? Charlesmıydı (ismini hatırlayamayacağım bir biliadamı bir proteinin tesadüf sonucu oluşma ihtimalinin 10 üzeri 160ta sadece 1 dir der.kaç trilyon ediyor yani benim anladığım bir imkansızlığı ifade ediyor.Buradan çıkarımla 100 küsür trilyon hücresi içinde bilmem kaç milyon proteinin olması bilmem kaç trilyon defa 1 milyon imkansızdır demektir.Bu noktayı nazarla belki "Yaratan tesadüfler sonucu yaratılmasını istemiştir" demesi bana ilginç geliyor.Bu ifade ile bir taraftan sanki ateizmin kapısının aralanması anlamına geldiğini düşünüyorum.Bilim ve dinin birbirinden ayrılması noktasında yine zıt düşünüyoruz.Kur'an ile bilim içiçe olduktan sonra.(dağların görevi,İnsanın biyolojisi,menstürasyon dönemi,bal arısı ve balın şifası,göklere çıktıkça için daralması vs.)Kur'an bir bilim kitabı olmasa da ilimlerle ters düşen bir ayetinin bile olmadığı görüyorum acizane.

isa:) dedi ki...

Canlıların tesadüfen ve gelişigüzel ortaya çıkması ve bütün canlıların birbirinden tesadüfen meydana gelmeleri,sistemsiz plansız gelişi güzel bir sonucu olduğunu düşünmüyorum,çünkü Allahın yaratılışında ve kainatta her şeyin bir sanatının olduğunu herşeyin planlı programlı olduğunu bu şekilde olmasınında pek çok hikmetinin olduğunu görüyorum.Kainatta karmakarışık bir süreçten anlamlı bir sürece geçildiğine de ben pek şahit olmadım.

Bu yazdıklarımın ne için olduğunu anlamışsındır.Yoksa evrim,anti-evrim,maymun-insan ilişkisi,hayvan-insan dokusu vb. durumlar için değil.Zaten bunlar benimde uğraş alanım değil.

isa dedi ki...

Evet, Biz ileride onlara delillerimizi gerek dış dünyada, gerek kendi öz varlıklarında göstereceğiz; ta ki Kur’ân’ın, Allah tarafından gelen gerçeğin ta kendisi olduğu onlar tarafından da iyice anlaşılacak. Rabbinin her şeye şahid olması yetmez mi?(Fussilet-53 )

Makro ve mikro alem...

,,sU LeKeSi dedi ki...

Selamlar İsacım,

Her şeyden önce gelişigüzellik sistemsizlik, plansızlık demek değildir. (Deterministik) kaos kavramını biraz kurcala istersen.

Olasılık hesaplarına gelince.. Yukarıdaki yazıda en son 10.000 tane nokta seçilmiş gelişigüzel olarak. Herhangi bir seçili noktanın Sierpinski contası içinde olma olasılığı a olsun. (a < 1, zira a bir olasılık) 10.000 noktanın birden bu conta içinde olması a üzeri 10.000 yapıyor. Bu da yine sıfıra çok yakın bir olasılık. Nokta sayısını sonsuza doğru arttırsan da yine hepsi conta içinde çıkıyor ki bu durumda olasılık sıfıra gidiyor. Ve gördüğün gibi bu kadar küçük bir olasılık gerçekleşmiş durumda ;)

Bilim dünyasında yapılan bir dolu çalışma karmaşık biyolojik şekil, örgü, ilişki ağı,, vs. gelişigüzel temelli modellerle temsil edilebildiğini gösteriyor. İstersen birkaç tane gönderebilirim sana.

Kısaca diyebilirim ki sana imkansız gelen hiçbir şey inandığın Allah için imkansız değildir. Yukarıda anlattıklarım da bunu destekliyor. Ve eğer doğayı Allah'ın sanatı olarak adlandırıyorsan, gelişigüzellik temelli bir sanat daha kusursuz bir sanattır ;)

isa:) dedi ki...

Gelişigüzel kavramından anladığım lügatlerde de anladığım anlamlara gelen bir kavram.ozen gösterilmeden,dikkat edilmeden yapılan,yani rasgele denk gelmesi seklinde dolduruyorum ben bu kelimenin anlamını.

Tabiki bana imkansız gelen pek çok şey Allah için imkansız değildir.Anlatmak istediğim şeyi anlatamadım sanırım veya sen anlamadın.;)

Savaş sonrası tekrar savaş mahkemesi kurmak yeniden savaş için bir sebep olabilir..:)))

,,sU LeKeSi dedi ki...

gelişigüzel kelimesini gündelik basit anlamda kullanmadım hiç. özen ve dikkat kavramlarıyla hiçbir ilişkisi yok. bilim dünyası da hiçbir zaman gelişigüzel kavramını bu şekilde ilişkilendirmez. bazı çevrelerin bilimcileri anlamayıp, hatta yanlış anlayıp, onlara düşman kesilmesinin sebebi de bu.

biz bu kelimeyi zihnimizde başka kavramlarla ilişkilendirmeden, salt kendisi olarak kullanıyoruz. bir şeyin gelişigüzel olması demek, o şeyin önceden belirlenemz olması demek.

yukarıdaki yazımda ne anlatmaya çalıştığımı biraz açıklayayım en iyisi: "herhangi bir adımda hangi noktayı seçeceğimizi kesinlikle önceden belirleyemiyoruz. yani süreci belirleyen deterministik bir algoritmamız yok. bu yüzden süreç gelişigüzel bir süreç. lakin gelişigüzel olan bu süreçle elde edilen sonuç, deterministik olan başka bir algoritmayla üretilen sonuçla birebir aynı."

bu da gösteriyor ki gelişigüzel gerçekleşen bir şeyin varacağı yeri bilen birisi (mesela Allah) gelişegüzelliği kullanabilir. bu onun özensiz ya da dikkatsiz olduğunu göstermez. aksine, onu çok daha özenli ve çok daha dikkatli yapar. deterministik bir algoritma kullanmadığı için de, sürecin işlediği sistemin içinde bulananlar (mesala bizler) olacakları önceden bilemez.

gördüğün gibi gelişgüzellik ve onunla gerçek anlamda ilişkili olan kavramlar (evrim gibi) İslami Allah tasavvuruyla çelişmez. aksine öz (külli) ve özgür (cüzi) irade gibi zihinlerde bağdaştırmakta zorlanılan kavramları kolayca bir araya getirir.

isa dedi ki...

Peki Onurcum.Bu deney cok daha karmaşık bir şekilde uygulanabilir mi?eskenar bir ücgen veya 3lü bir zar dışında daha ufkumuzu zorlayıcı bir biçimde mesela 100-1000-10000 alternatifli bir sisteme uygulanabilir mi?

,,sU LeKeSi dedi ki...

Sanırım yazıda bahsettiğim kaos oyunuyla elde edilmiş daha tanıdık bir şekil görmek senin için iyi olacak İsacım:

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Fractal_fern1.png

Aşağıdaki bağlantıda ve birçok diğer kaynakta ise matematik, biyoloji, bilgisayar bilimleri, ekonomi, mühendislik, maliye, felsefe, fizik, siyaset, fizyoloji gibi aklına gelebilecek birçok alanda, elektrik devreleri, lazerler, kimyasal tepkimeler, akışkan dinamiği, gezegenlerin dinamiği, gök cisimlerinin manyetik alan evrimi, ekolojideki popülasyon büyümesi, sinir hücrelerindeki aksiyon potansiyeli dinamiği, moleküler titreşimler, epilepsi, tümör biyolojisi, canlılarda gen ifadesinin düzenlenmesi, hava ve iklim, yerkabuğu tektonikleri gibi aklına gelebilecek birçok konuda kaotik davranışların ortaya çıkabildiğini görebilirsin.

http://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory

Kaos kelimesini de gündelik algılar gereği yanlış yorumlayabilirsin. Kabaca düzensiz düzen veya düzenli düzensizlik diye tanımlayabiliriz kaosu.

Ve yukarıda sözü edilen alan ve konularda kaotik davranış gerçekleşmesini de kötüye yorabilirsin. Oysa hayati işlevsel konularda kaotik davranışların gözlemlenmesinin kötüye işaret olduğu yönündeki eskiden yaygın olan görüş son yıllarda oldukça yıprandı. Mesela Harvard'dan Ary Goldberg sağlıklı kalp ritimlerinin zamana göre değişiminin kaotik olduğunu, kriz durumlarının daha düzenli göründüğünü gösterdi:

http://www.kfupm.edu.sa/math/SpecialEvents_PartyPhotos/Wavlets_Applications2004/DiagnosisofHeartDisease.pps

Gelişen kanıya göre tatlı kaotik bir ritim sinir, kas, sindirim sistemi gibi uyarı merkezlerinden gelen sinyallere daha çabuk ve daha esnek cevap verme imkanını sağlıyor. Kaosun bu pozitif etkisine karşı bunun aksini gösteren özel bir durum da mevcut tabii: Kalp krizi halinde oluşan fibrilasyon, başka bir değişle acı kaos.. Deterministik karakter taşımayan bu duruma tam kaos diyebiliriz.

Bu noktada tatlı kaosa birkaç örnek daha vermek yerinde olabilir:

Ak yuvarların sağlıklı insanlardaki derişimi kaotik bir değişim gösterirken, lösemi hastalarındaki düzenli ve periyodik bir değişim gösterdiği biliniyor.

Nefes alma ritmi Cheyne-Stokes ritminin düzenli bir örüntüsü olduğunda hastalık durumu ortaya çıkıyor.

Beyinden alınan iki farklı elektrodla elde edilen faz uzayında beyin elektrosu tek nokta ise hasta ölmüş oluyor. Canlılarda ise karmaşık bir eğri ortaya çıkıyor ve insana doğru eğrinin kaotikliği artıyor.

Komada beyin ritimleri daha düzenli hale geliyor.

Normal bir insan beyninin EEG'leri epilepsi krizi geçiren bir hastanınkinden daha kaotik oluyor (Agnes Babloyonaz, Brüksel Ünv.). Ve normal insanda zihinsel etkinlik arttıkça kaotiklik de artıyor (Paul Rapp, Pensilvanya Tıp Okulu). Yaşlandıkça da kaotiklik azalıyor.

,,sU LeKeSi dedi ki...

İsacım yazıyı güncelledim: Yazının sonuna bir önceki yorumda birinci sırada sözünü ettiğim şekille ilgili kaos oyunu kodu ve 1.000.000 tekrarlama sonucunda elde edilen şekli bulabilirsin.

,,sU LeKeSi dedi ki...

Yorumlar doğrultusunda yazıyı yine güncelledim..

iZ-LeYiCiLeR

e-PoSTa iLe İZ-Le